IN COSTRUZIONE



La formula è


dove
D = duration ;
P = prezzo corrente di mercato dell'obbligazione ;
t = ti-esimo di N flussi di pagamenti attesi dall'obbligazione, dove N-1 sono normalmente le cedole, N l'ultima cedola più il rimborso del capitale ;
r = tasso di sconto utilizzato per il calcolo (si assume una curva "piatta", ossia il tasso di sconto è uguale per tutte le cedole).

Quella riportata è la formula della duration classica, vale a dire la celeberrima "duration di Macauley" (dal nome del suo autore) del 1938 (cfr. Macaulay, F.R. "Some theoretical problems suggested by the movement of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States since 1856" - New York : Columbia University Press for the National Bureau of Economic Research, 1938).
Fra i vari significati attribuibili a questa formula ed al concetto che essa rappresenta la prima (sia cronologicamente, sia anche seguendo un determinato processo logico) è stata fornita dallo stesso autore ; ed è quella che vede la duration come media ponderata dei pagamenti di un'obbligazione.


La formula per calcolare il cambio a termine (dati il cambio a pronti, il numero dei giorni e i tassi di interesse delle due divise della parità considerata) è

T = S x GG x (T2 - T1) / (36000 + GG x T1)
dove
T = punti a termine ;
S = cambio spot ;
GG = numero dei giorni (dalla valuta spot alla valuta di scadenza) ;
T1 = tasso della divisa principale della parità ;
T2 = tasso della divisa secondaria della parità.

Ricordare che :
a. i tassi vanno sempre espressi nella forma nominale annua, mai in quella di periodo ;
b. la divisa principale di una parità è per definizione quella "a valore unitario" nella parità stessa : per esempio, nella parità EUR/USD l'Euro è la divisa principale. Posto infatti, per ipotesi, che il valore della parità sia 0.9000, si tratta di 0.9000 USD per un Euro. Così, nella parità USD/LIT è il Dollaro USA la divisa principale. Se, per esempio, il valore di questa seconda parità è 2151.41 (pari appunto a 0.9000), si tratta di 2151.41 LIT per un Dollaro USA ;
c. qualora il tasso di una divisa sia per consuetudine quotato sul mercato monetario con divisore 365, prima di eseguire il calcolo evidenziato nella formula bisognerà ricalcolarne il valore su base 360. Questo viene eseguito dividendo per 365 il tasso con divisore 365, e rimoltiplicando il risultato per 360.


La formula è la seguente :

ia = (1 + ip)p - 1 , dove
ia = tasso effettivo annuo,
ip = tasso nominale di periodo,
p = numero di periodi / anno (p.e., p = 2 se la frequenza del pagamento degli interessi è semestrale, 4 se è trimestrale, ecc.)

Per chi è abituato a ragionare secondo le "categorie del pensiero" di Excel il tutto si traduce in


(Vedremo poco più avanti che non è necessario ricopiarsi la formula : il file Excel che esegue questi calcoli è già disponibile in questo sito).

Il concetto sotteso è il seguente : supponiamo che io mi faccia prestare 100 Euro ; ipotizziamo inoltre (vedremo trattarsi di un paradosso) che i tassi di interesse siano pari al 3.00%, sempre ed indipendentemente dalla scadenza presa a riferimento (un mese, due mesi, ecc.)
La durata del prestito è di un anno ; posso scegliere se pagare gli interessi
a) in un'unica soluzione alla scadenza, oppure
b) alla fine di ciascun semestre, oppure
c) alla fine di ciascun mese.
E' convenuto di utilizzare il divisore commerciale (360), e che tutti i mesi verranno considerati di 30 giorni.
Se opto per a), pagherò in un'unica soluzione capitale più interessi, pari a

100 + (100 x 3 x 360 / 36000) = 100 + 3 = 103 Euro .

Se opto per b), dopo i primi sei mesi dovrò pagare interessi pari a

100 x 3 x 180 / 36000 = 1.50 Euro .

A questo punto dovrò indebitarmi per Euro 1.50, per onorare gli interessi di cui sono debitore : pertanto, per il secondo semestre il mio debito ammonta complessivamente ad Euro 101.50. Secondo l'ipotesi iniziale anche questo secondo debito di Euro 1.50 viene contratto al 3.00% .
Alla scadenza finale, quindi, rimborserò il capitale di Euro 101.50 più gli interessi maturati nel secondo semestre su tale capitale, per un totale di

101.50 + (101.50 x 3 x 180 / 36000) = 101.50 + 1.52 = 103.0225 .

Poiché il debito iniziale era di 100 Euro, i 3.0225 Euro di interessi corrispondono ad un tasso pari a

3.0225 x 36000 / 360 / 100 = 3.0225% .

Dunque, la capitalizzazione semestrale degli interessi rende il tasso effettivo superiore a quello dell'ipotesi di capitalizzazione annuale.
Procedendo iterativamente per 12 volte in modo analogo al precedente, per periodi di 30 giorni, si può verificare che nell'ipotesi c) il tasso effettivo è pari a 3.041596% : in definitiva, il tasso effettivo diventa tanto più alto quanto più elevata è la frequenza di capitalizzazione degli interessi.

Per non dovere ricorrere a fastidiosi esercizi di memoria, ed altrettanto tediosi calcoli empirici, la formula riportata sopra può essere facilmente messa in pratica utilizzando fogli di calcolo di Excel già presenti in questo sito :

Sono entrambi disponibili nella sezione del software finanziario.


La formula è :

R = S x im / ( 1 - ( 1 + im )-n) ,

dove
R = rata ;
S = ammontare originario del prestito ;
im = tasso di interesse periodale ;
n = numero delle rate.

N.B. - quella riportata è la formula per il calcolo della rata a fronte di un piano di rimborso con ammortamento progressivo, vale a dire con rata costante (detto anche "ammortamento francese").
Il calcolo, viceversa, della rata a fronte di un piano di ammortamento costante (rata crescente, "ammortamento italiano") richiederebbe semplicemente il calcolo degli interessi maturati di rata in rata sul debito residuo, da sommare ad una quota capitale costante pari al debito originaio diviso per il numero delle rate.